ГЛОССАРИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

 

1. Разность  x - x_0 называется приращением аргумента в точке x_0 и обозначается \Delta x («дельта икс»):

  \[ \Delta x = x - x_0 \]

2. Приращением функции y = f(x) в точке x_0, соответствующее приращению аргумента \Delta x = x - x_0, называется величина

  \[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \]

3. Производной y'(x_0) от функции y = f(x) называется предел отношения \frac{\Delta y}{\Delta x} приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремиться к нулю: \Delta x \to 0 (если он существует). То есть:

  \[ y'(x_0) = f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

4. Правой производной y'_+ функции y = f(x) в данной точке x называется величина

  \[ y'_+ = f'(x_0 + 0) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x}, \]

а левой производной – величина

  \[ y'_- = f'(x_0 - 0) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x}, \]

если эти пределы существуют.

Для того чтобы в точке x существовала производная f'(x), необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция y = f(x) имела правую и левую производные, и эти производные были равны между собой:

  \[ y'(x) = y'_+(x) = y'_-(x) \]

5. ТЕОРЕМА: Функция y = f(x) имеет в точке x бесконечную производную, если в этой точке

  \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \infty \]

Обратное заключение не всегда верно: если функция y = f(x) непрерывна в некоторой точке x_0 , то она может и не иметь производной в этой точке.

 

6. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

  \[ \Delta y = A \cdot \Delta x + \alpha(\Delta x) \cdot \Delta x, \]

где A – число, не зависящее от \Delta x\text{ },\text{ } \alpha(\Delta x), – бесконечно малая функция при \Delta x \to 0, то есть

  \[ \lim_{\Delta x \to 0} \alpha(\Delta x) = 0. \]

7. (О необходимом и достаточном условии дифференцируемости.)  Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы y = f(x) имела в точке конечную производную.